Francesco Cavalieri fue un geómetra italiano que vivió en el siglo XVII y fue discípulo de Galileo Galilei
En 1635 publicó un trabajo en el que sentó las bases para realizar cálculos de áreas y de volúmenes y que actualmente se conoce como el Principio de Cavalieri. Este Principio se constituye también en un importante precedente para la construcción del Cálculo Diferencial e Integral posteriormente desarrollado independientemente por Newton y Leibnitz.
El Principio de Cavalieri se usa para calcular volúmenes de cuerpos de la siguiente manera. Consideremos un paralelepípedo como el de la figura de abajo
En lugar de calcular directamente el volumen de todo el cuerpo el Principio de Cavalieri consiste en trazar muchos planos horizontales (paralelos a la base)como se muestra
y luego, calcular el volumen de cada uno de los pequeños paralelepípedos para después sumar todos esos volúmenes para obtener el volumen total del cuerpo completo. Estos pequeños volúmenes limitados por planos paralelos Cavalieri los llamó “indivisibles de volumen”. (Un procedimiento similar se utiliza para las áreas).
Cuando se trata de un cuerpo como el que hemos presentado, en el que todos los pequeños volúmenes son idénticos entre sí, ya que todas las áreas horizontales son iguales al área b de la base, el Principio de Cavalierino es especialmente útil. El volumen Vcuerpodel cuerpo es simplemente el producto de la base b por la altura H del cuerpo
Vcuerpo = b x H
Su utilidad se demuestra cuando se trata de cuerpos algo más complejos, donde los indivisibles de volumen son diferentes entre sí, como en una pirámide, un cono, o una esfera por ejemplo.
En el caso de la pirámide ilustrada, las áreas de los distintos indivisibles de volumen son claramente diferentes, por lo que los volúmenes de los indivisibles de volumen son también diferentes.
El volumen de la pirámide se obtiene sumando los volúmenes de todos los indivisibles de volumen, pero cada uno de éstos son distintos entre sí.
¿Cómo se procede en este caso?
Llamemos b el área de la base y H a la altura de la pirámide. Definamos los indivisibles de volumen de modo de dividir la altura H en N segmentos que llamaremos h de modo que
Consideremos los segmentos partiendo por el ápice de la pirámide y ordenémoslos con el índice M, de modo que M tome sucesivamente valores de 0 a N, es decir,
de modo que M = 0 corresponde al ápice de la pirámide y M = N correponde a la base de la pirámide, como se muestra
El primer indivisible de volumen para M = 1, está a una distancia h del ápice, el segundo está a una distancia 2 h del ápice, el tercero está a una distancia 3 h del ápice y así sucesivamente, de modo que el indivisible de volumen número M está a una distancia M h del ápice.
El Principio de Cavalieri consiste en aproximar el cálculo del volumen total del cuerpo como la suma de los indivisibles de volumen, calculando cada uno de ellos como el producto de su área por la altura h correspondiente.
Para calcular el área del primer indivisible de volumen basta con usar el hecho que todas las bases son polígonos semejantes y la razón de semejanza es r = 1/N para el primer indivisible
Para el segundo indivisible la razón de semejanza es 2/N
Entonces para los sucesivos indivisibles se tiene
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M
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r
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b
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h
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V= bh
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1
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1 / N
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b (1 / N)2
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H / N
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12 bH / N3
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2
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2 / N
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b (2 / N)2
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H / N
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22 bH / N3
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3
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3 / N
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b (3 / N)2
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H / N
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32 bH / N3
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4
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4 / N
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b (4 / N)2
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H / N
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42 bH / N3
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M
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(M / N)
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b (1 / N)2
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H / N
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M2 bH / N3
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N
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1
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b
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H / N
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N2 bH / N3
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Entonces el volumen de la pirámide Vpirámide es
Para realizar este cálculo, aprovechamos para definir la notación abreviada para la suma (sumatoria) que utiliza como símbolo la letra griega S (sigma mayúscula)
La suma de los cuadrados de los primeros N enteros es conocida y el resultado de la sumatoria está dado por
como comprobamos en la Tabla siguiente
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N
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S
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Suma
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(1 / 3) N (N+1 / 2) (N + 1)
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0
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0
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0
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(1 / 3) 0 (0+1 / 2) (0+1)=0
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1
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0+1
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1
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(1 / 3) 1 (1+1 / 2) (1+1)=1
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2
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0+1+4
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5
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(1 / 3) 2 (0+2 / 2) (2+1)=5
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3
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0+1+4+9
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14
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(1 / 3) 3(0+3 / 2)(3+1)=14
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4
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0+1+4+9+16
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30
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(1 / 3) 4(0+4 / 2)(4+1)=30
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5
|
0+1+4+9+16+25
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55
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(1 / 3) 5(0+5 / 2)(5+1)=55
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Con este resultado, el volumen de la pirámide es
o, equivalentemente,
La aproximación del volumen total de la pirámide es mejor cuanto mayor es N. En ese caso, sólo el primer término es importante y obtenemos
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