Tales de Mileto (localidad situada actualmente en Turquía) vivió entre los años 624 y 547 AC, aproximadamente. Obtuvo importantes resultados en el estudio de la geometría. Varios de estos resultados son conocidos con el nombre de Teorema de Tales y aquí se presenta uno de ellos que se refiere a la proporcionalidad de segmentos intersecados en dos rectas cualesquiera por tres o más rectas paralelas.
Sin embargo, para mostrar este Teorema, comenzaremos por retomar el problema de la compra de jabones que se presenta en el estudio de la Proporcionalidad Directa.
Consideremos el caso de jabones cuyo Precio Unitario (PU) es de $400 por jabón. El gráfico de abajo representa en el eje vertical el Precio Total (PT) en pesos de la compra del Número de jabones (N) que se consigna en el eje horizontal
La interpretación del gráfico en términos de proporciones y su relación con el PU está hecha en el estudio de Proporcionalidad Directa.
Aquí daremos una lectura geométrica al gráfico.
Como es claro, una compra de N = 5 jabones, por ejemplo,resulta en un PT de $ 2.000. Dicho en términos geométricos en el triángulo rectángulo OAF, OA representa el número de jabones comprados N, mientras que AF es el Precio Total PT, para ese número de jabones.
De la misma manera, OB, OC, OD representan N = 10, N = 15, N = 20 jabones comprados respectivamente, y BG, CH, DI representan los PTde $ 4.000, $ 6.000, $ 8.000 asociados a las compras de los distintos números de jabones ya mencionados.
Como es claro,
En otras palabras, los Precios Totales, PT, son directamente proporcionales a los Números Totales de Jabones Comprados, N.
Dicho de otra manera, ya que
debe tenerse que
respectivamente.
Ahora se pude utilizar el Teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos OAF, OBG, OCH, ODI
Se tiene que para el triángulo OAF
o, alternativamente,
De la misma manera, se tiene que para el triángulo OBG
pero, debido a que OB = 2OA y BG = 2AF se tiene, finalmente, que
OG = 2 OF. Procediendo de la misma manera se tiene que OH = 3 OF y OI = 4 OF. En resumidas cuentas, hemos obtenido
En consecuencia, se tiene también que
Consideremos ahora la figura siguiente, en que las dos rectas oh y oh’ son cortadas por las rectas paralelas ff’, gg’, hh’. La recta punteada auxiliar oc, es perpendicular a las tres rectas paralelas mencionadas.
Con esta nueva recta auxiliar oc, se podrá usar la analogía entre los triángulos rectángulos construidos aquí (con letras minúsculas) con aquellos que aparecen en el gráfico de compra de jabones (con letras mayúsculas). En consecuencia se tiene, para los triángulos rectángulos oaf, obg, y och,
De manera análoga, se tiene, para los triángulos rectángulos oaf’, obg’, y och’,
y se puede concluir finalmente que
que es una de las versiones del Teorema de Tales, o dicho en palabras:
Si tres o más paralelas cortan a dos rectas cualesquiera, los segmentos correspondientes determinados en las rectas cualesquiera son proporcionales entre sí.
La figura que se ilustra a continuación, con dos rectas auxiliares punteadas en rojo, perpendiculares a las rectas paralelas ff’, gg’, hh’, permite obtener otra versión del Teorema de Tales
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