EducaRed México. Recursos educativos. Nuestra casa la Tierra. El radio de la tierra.

Consideremos las mediciones de la longitud menor de la sombra de un vástago, que diversos grupos realizaron durante nuestro concurso "Mide tu mundo con educared.cl".

Ellos para realizarlas utilizaron un reloj solar especialmente adaptado para hacer estas mediciones, el cual puedes bajar e imprimir utilizando uno de los dos formatos que tenemos disponibles (Powerpoint y Acrobat), verifica cual de estos esta en tu computador y si no los tienes puedes bajar el software gratuito Adobe Acrobat desde aquí.

Esquemáticamente la situación que se produce puede describirse con la figura que sigue, en la que los rayos del Sol (que está muy alejado de la Tierra) inciden sobre la Tierra como rectas paralelas.

Debido a que la Tierra es aproximadamente esférica, los vástagos ubicados en distintos lugares geográficos arrojan sombras de distinta longitud.

Con el objeto de determinar el radio de la Tierra se necesita saber, en dos puntos sobre la Tierra, la longitud del vástago, el largo menor de su sombra en cada uno de ellos.

También se requiere conocer la distancia entre los dos puntos geográficos (que es la distancia entre ambos lugares “proyectada” sobre un meridiano)

La longitud de los vástagos y de sus sombras más cortas sirven para determinar el ángulo que los rayos solares forman con la vertical en cada punto.

Para realizar esta determinación existen distintos métodos, uno que puede ser utilizado por Estudiantes de Educación Básica y Media y otro que requiere conocimientos de Trigonometría y que podría ser utilizado por aquellos estudiantes de Educación Media que conozcan las definiciones relevantes para realizar el cálculo. Vamos a describir ambos métodos.

Consideremos un diagrama simplificado del vástago y su sombra, en dos lugares diferentes, como los que aparecen a continuación:

El trazo rojo vertical AC representa el vástago, mientras que el trazo negro horizontal AB representa su sombra más corta, en cada uno de los lugares. Es preciso enfatizar que el ángulo que forma la recta AC con la recta AB es un ángulo recto. Nos interesa determinar el ángulo que forman los rayos solares (trazo amarillo CB) con la vertical, es decir, queremos determinar el ángulo ACB.

Se construye, usando papel milimetrado por ejemplo, un ángulo recto cuyo vértice llamamos A, de modo que uno de sus lados sea vertical y el otro horizontal. En el lado vertical se mide una distancia igual al alto del vástago para determinar el punto C, que llamaremos la punta del vástago, para cada uno de los dos lugares.
Sobre la línea horizontal se mide la longitud de su sombra más corta para determinar el punto B. Para terminar la construcción del triángulo se une el punto C con el punto B.
Ahora, se puede medir el ángulo ACB con un transportador, medido en grados, por ejemplo.

NOTA IMPORTANTE: Si el vástago es demasiado largo para que el triángulo quepa en un papel milimetrado, se puede reducir el dibujo a escala, teniendo precaución de utilizar la misma escala para la longitud del vástago y la longitud de su sombra más corta.

Para la determinación del Radio de la Tierra realmente se requiere la diferencia (la resta) de los valores de dos de estos ángulos en dos lugares distintos de la Tierra. En este caso se repite la operación ya descrita con los datos del otro punto geográfico.
La determinación de la diferencia de los ángulos es más precisa si una vez dibujados los dos triángulos (correspondientes a las mediciones en dos lugares distintos), se recortan cuidadosamente los triángulos y se superponen haciendo coincidir tanto los vástagos como sus puntas y, a continuación, se mide la diferencia entre sus ángulos ACB correspondientes, directamente con un transportador, medido en grados. (La diferencia entre estos dos ángulos es lo que llamaremos ángulo 1O2).

Se procede de manera similar a la ya esbozada en el Método 1, aunque no es necesario utilizar papel milimetrado para la determinación del valor del ángulo ACB. El valor del ángulo ACB se obtiene usando el concepto de tangente de un ángulo. Para acortar la notación se define

lo que permite determinar los ángulos ACB (medidos en grados) en cada uno de los lugares y, en consecuencia, la diferencia entre ellos. Las funciones trigonométricas y sus inversas pueden obtenerse utilizando una calculadora científica.

El ángulo que los rayos del Sol forman con el vástago en el lugar 1 es igual al ángulo ZO1 (porque son ángulos internos alternos entre paralelas, donde las rectas paralelas son los rayos del Sol) como se ve en la figura siguiente.

De la misma manera, el ángulo que los rayos del Sol forman con el vástago en el lugar 2 es igual al ángulo ZO2 (porque también son ángulos internos alternos entre paralelas).

Ahora que se conocen los ángulos en el lugar 1 y el lugar 2 hay que tomar la diferencia de esos dos ángulos (hay que tomar un ángulo y restarle el otro ángulo) en todos los casos excepto si una de las mediciones se hizo en Chile y la otra medición se hizo en Estados Unidos o en México en cuyo caso hay que sumarlos (hay que tomar un ángulo y sumarle el otro ángulo). Ver la Tabla

Lugar 1	Lugar 2	Operación con los dos ángulos

Estados Unidos	Estados Unidos	Restar (-)
Estados Unidos	México	Restar (-)
Estados Unidos	Chile	Sumar (+)
México	México	Restar (-)
México	Chile	Sumar (+)
Chile	Chile	Restar (-)

Inserta los valores de las latitudes y de las longitudes de los Puntos 1 y 2 donde se realizaron las mediciones y la fecha y el tiempo local en el que estos resultados se obtuvieron (sólo puedes utilizar una medición hecha en cada lugar)

Entonces, determinando el ángulo 1O2, y conociendo la distancia D12 entre los puntos 1 y 2 (“proyectada” sobre un meridiano), se puede establecer la siguiente proporción:

La distancia D12 es a la circunferencia terrestre completa como el ángulo 1O2 es al ángulo completo (360º). Es decir,

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