Consideremos un triángulo ABC cualquiera como el de la figura de abajo
Tomemos ahora otro triángulo abc, cuyos lados tengan exactamente la mitad de la longitud de los lados del triángulo ABC, es decir,
o, equivalentemente,
Se dice que los triángulos ABC y abc son semejantes. Este es un caso particular de semejanza. El caso general se discutirá más adelante.
Es fácil ver que el perímetro del triángulo ABC es el doble del perímetro del triángulo abc, es decir,
¿Cuál es la relación entre las áreas de ambos triángulos?
Para simplificar el cálculo, simplemente superpongamos el triángulo pequeño abc sobre el mayor ABC, como se muestra en la figura siguiente
Claramente, el triángulo pequeño cabe cuatro veces en el triángulo mayor. Se tiene entonces que
Se tiene entonces que el perímetro del triángulo ABC es el doble del perímetro del triángulo abc, pero el área del triángulo ABC es el cuádruple del área del triángulo abc.
Se dice que el perímetro y el área escalan de manera diferente.
En general, supongamos que tenemos dos polígonos llamados P y p del mismo número de lados (que llamaremos n) y que sus lados correspondientes son proporcionales entre sí. En otras palabras
en ese caso, se dice que los polígonos P y p son semejantes. Se tiene que el perímetro de P es igual a r veces el perímetro de p
Sin embargo, para el caso del área se tiene que el área de P es igual a r2 veces el área de p
Este es el caso general, del que el ejemplo estudiado de los triángulos ABC y abc es un caso particular
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