Para realizar el cálculo del volumen de una esfera de radio R, utilizaremos el Principio de Cavalieri.
Para eso, dividimos a la mitad superior de la esfera en los llamados indivisibles de volumen, usando planos paralelos horizontales equidistantes (a distancias iguales entre ellos).
El primer indivisible de volumen para M = 1, está a una distancia h (= R/N) del “Polo Norte”, el segundo está a una distancia 2 h del “Polo Norte”, el tercero está a una distancia 3 h del “Polo Norte”, y así sucesivamente, de modo que el indivisible de volumen número M está a una distancia (M/N) R del “Polo Norte” y a una distancia ((N-M)/N) R del centro de la esfera como se muestra en la figura
El Principio de Cavalieri consiste en aproximar el cálculo del volumen total del cuerpo como la suma de los indivisibles de volumen, calculando cada uno de ellos como el producto de su área por la altura h (= R/N) correspondiente.
Para calcular el área de los indivisibles de Volumen basta con usar el hecho que todas las bases son circunferencias semejantes y calcular el radio rM de ellas
El radio rM de la circunferencia en el indivisible de Volumen número M se puede calcular usando el triángulo de la figura anterior y el Teorema de Pitágoras, de la siguiente manera
Al desarrollar el cuadrado del binomio, se obtiene,
lo que finalmente arroja como resultado para (rM)2
Entonces para los sucesivos indivisibles se tiene
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M
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RM2
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bM
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h
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V M = B M H
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1
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R2 (2N-1)/N2
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p R2(2N-1)/N2
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R / N
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p R3(2N-1)/N3
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2
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R2 (4N-4)/N2
|
p R2(4N-4)/N2
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R / N
|
p R3(4N-4)/N3
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3
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R2 (6N-9)/N2
|
p R2(6N-9)/N2
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R / N
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p R3(6N-9)/N3
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4
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R2 (8N-16)/N2
|
p R2(8N-16)/N2
|
R / N
|
p R3(8N-16)/N3
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M
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R2 (2NM-M2)/N2
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p R2(2NM-M2)/N2
|
R / N
|
p R3(2NM-M2)/N3
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N
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R2
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p R2
|
R / N
|
p R3/N
|
Entonces el volumen de la esfera Vesfera es (el doble de) la suma de los volúmenes de los indivisibles de volumen vM (ya que consideramos sólo la mitad de la esfera), donde usamos la notación de suma que se simboliza con la letra griega Σ (sigma mayúscula)
Para este cálculo se requiere conocer los resultados de las sumas
La suma de los primeros N enteros es conocida y el resultado de la sumatoria está dado por
La suma de los cuadrados de los primeros N enteros es conocida y el resultado de la sumatoria está dado por
como comprobamos en la Tablas siguientes
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N
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Σ
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Suma
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( 1 / 2)N(N + 1 )
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0
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0
|
0
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( 1 / 2)0(0 + 1 )=0
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|
1
|
0+1
|
1
|
|
( 1 / 2)1(1 + 1 )=1
|
|
2
|
0+1+2
|
3
|
|
( 1 / 2)2(2 + 1 )=3
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3
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0+1+2+3
|
6
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|
( 1 / 2)3(3 + 1 )=6
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4
|
0+1+2+3+4
|
10
|
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( 1 / 2)4(4 + 1 )=10
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5
|
0+1+2+3+4+5
|
15
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( 1 / 2)5(5 + 1 )=15
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.
|
.
|
.
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|
.
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N
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Σ
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Suma
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(1 / 3)N( N+1 / 2) (N + 1)
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0
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0
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0
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(1 / 3)0( 0+1 / 2) (0 + 1)=0
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|
1
|
0+1
|
1
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(1 / 3)1( 1+1 / 2) (1 + 1)=1
|
|
2
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0+1+4
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5
|
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(1 / 3)2( 2+1 / 2) (2 + 1)=5
|
|
3
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0+1+4+9
|
14
|
|
(1 / 3)3( 3+1 / 2) (3 + 1)=14
|
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4
|
0+1+4+9+16
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30
|
|
(1 / 3)4( 4+1 / 2) (4 + 1)=30
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|
5
|
0+1+4+9+16+25
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55
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(1 / 3)5( 5+1 / 2) (5 + 1)=55
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.
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Así, el volumen de la esfera es
Al desarrollar los productos queda
Como es claro, la aproximación del volumen total de la pirámide es mejor cuanto mayor es N.
Se toma N como un número muy grande de modo que (1/N) y (1/N2) sean muy pequeños. En ese caso, sólo el primer y el tercer términos son importantes y obtenemos
En resumen, el volumen de la esfera de radio R es
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