Supongamos que formamos un paralelepípedo recto rectangular de vértices A, B, C, D, E, F, G, y J con un mazo de N cartas, poniendo horizontalmente una carta sobre otra y, a continuación, calculamos su volumen V. Obviamente, su volumen V es el producto de N veces el volumen v de cada una de las cartas que componen el mazo.
Supongamos que el área de cada una de las cartas es b, la altura de cada carta es h, entonces el volumen de cada carta es
La altura H del paralelepípedo recto rectangular es el producto del número N de cartas del mazo por la altura (espesor) h de cada carta del mazo
Dicho de otra manera, el volumen V del mazo es
el producto de su altura H por su base b, resultado ya conocido.
Tomemos ahora ese mismo mazo de cartas y deformémoslo, deslizando horizontalmente las cartas, para formar el paralelepípedo de vértices A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, y J’ y de volumen V’, como se muestra en la figura de abajo.
En consecuencia, si la base del nuevo paralelepípedo es b’, el espesor de sus cartas es h’, el volumen de cada una de sus cartas es v’, y su altura es H’, se tiene
ya que sólo hemos deslizado las cartas, no hemos cambiado ni el tipo de las cartas (lo que preserva su base, su espesor y su volumen), ni su número N. Por lo tanto,
ya que
En consecuencia, el paralelepípedo de vértices A, B, C, D, E, F, G, J tiene el mismo volumen que el paralelepípedo A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, J’.
Supongamos que se tiene un cuerpo de cualquier forma, con una base (que se hace coincidir con un plano horizontal) con área b y se corta con planos horizontales paralelos a la base y una altura (vertical) H . Si las secciones horizontales así obtenidas todas tienen área b (para cualquier plano horizontal que se utilice para cortar el sólido) entonces su volumen V es
El argumento es el mismo que hemos utilizado en el que suponemos que el cuerpo se ha constituido con N cartas todas de la misma área b y espesor h, y con volumen v, de modo que la altura del cuerpo es H, con
Para un paralelepípedo cualquiera
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