En el caso de la pirámide ilustrada, las áreas de los distintos indivisibles de volumen son claramente diferentes, por lo que los volúmenes de los indivisibles de volumen son también diferentes.
El volumen de la pirámide se obtiene sumando los volúmenes de todos los indivisibles de volumen, pero cada uno de éstos son distintos entre sí.
¿Cómo se procede en este caso?
Llamemos b el área de la base y H a la altura de la pirámide. Definamos los indivisibles de volumen de modo de dividir la altura H en N segmentos que llamaremos h de modo que
Consideremos los segmentos partiendo por el ápice de la pirámide y ordenémoslos con el índice M, de modo que M tome sucesivamente valores de 0 a N, es decir,
de modo que M = 0 corresponde al ápice de la pirámide y M = N correponde a la base de la pirámide, como se muestra
El primer indivisible de volumen para M = 1, está a una distancia h del ápice, el segundo está a una distancia 2 h del ápice, el tercero está a una distancia 3 h del ápice y así sucesivamente, de modo que el indivisible de volumen número M está a una distancia M h del ápice.
El Principio de Cavalieri consiste en aproximar el cálculo del volumen total del cuerpo como la suma de los indivisibles de volumen, calculando cada uno de ellos como el producto de su área por la altura h correspondiente.
Para calcular el área del primer indivisible de volumen basta con usar el hecho que todas las bases son polígonos semejantes y la razón de semejanza es r = 1/N para el primer indivisible
Para el segundo indivisible la razón de semejanza es 2/N
Entonces para los sucesivos indivisibles se tiene
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M
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rM
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bM
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h
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V M = b Mh
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1
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1 / N
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b (1 / N) 2
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H / N
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12 bH / N3
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2
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2 / N
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b (2 / N) 2
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H / N
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22 bH / N3
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3
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3 / N
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b (3 / N) 2
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H / N
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32 bH / N3
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4
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4 / N
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b (4 / N) 2
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H / N
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42 bH / N3
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M
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( M / N )
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b (M / N) 2
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H / N
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M2 bH / N3
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N
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1
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b
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H / N
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N2 bH / N3
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Entonces el volumen de la pirámide Vpirámide es
Para realizar este cálculo, aprovechamos para definir la notación abreviada para la suma (sumatoria) que utiliza como símbolo la letra griega S(sigma mayúscula)
La suma de los cuadrados de los primeros N enteros es conocida y el resultado de la sumatoria está dado por
como comprobamos en la Tabla siguiente
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N
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S
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Suma
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(1 / 3 ) N (N + 1 / 2) (N + 1)
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0
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0
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0
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(1/3) 0 ( 0+1/ 2) (0+1)=0
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1
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0+1
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1
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(1/3) 1 ( 1+1/ 2) (1+1)=1
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2
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0+1+4
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5
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(1/3) 2 ( 2+1/ 2) (2+1)=5
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3
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0+1+4+9
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14
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(1/3) 3 ( 3+1/ 2) (3+1)=14
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4
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0+1+4+9+16
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30
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(1/3) 4 ( 4+1/ 2) (4+1)=30
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5
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0+1+4+9+16+25
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55
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(1/3) 5 ( 5+1/ 2) (5+1)=55
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Con este resultado, el volumen de la pirámide es
o, equivalentemente,
La aproximación del volumen total de la pirámide es mejor cuanto mayor es N. En ese caso, sólo el primer término es importante y obtenemos
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